Question

高一数学！！

已知a=(2sinx,cosx),b=(-sinx,2sinx),f(x)=√2/2a·b+√2/2,若已知
g(x)=sin4x-4f(x)，令f(x)=t,将g(x)表示为t的函数,如果g(x)在定义域为
[-π/8,m]上的值域是[-3,-1],试求m的取值范围

Answer 1

a·b=2sinxcosx-2(sinx)^2
=sin2x+cos2x-1 [倍角公式]
∴f(x)=(sin2x+cos2x-1+!)/√2
=(sin2x+cos2x)/√2
=sin(2x+π/4)∈[-1,1] [辅助角公式]
sin4x=2sin2xcos2x
=(sin2x+cos2x)^2-((sin2x)^2+(cos2x)^2)
=(sin2x+cos2x)^2-1
=2t^2-1
∴g(x)=sin4x-4f(x)=2t^2-1-4t=2t^2-4t-1=g(t)
对称轴t=1 由于t∈[-1,1] 所以g(t)在定义域内是单调递减的
g(t)=-1时 t=0
g(t)=-3时 t=1
所以t∈[0,1]
即sin(2x+π/4)∈[0,1]
所以2m+π/4∈[π/2,π]
即m∈[π/8,3π/8]

Answer 2

容易求得f（x）=√2/2（sin2x+cos2x）=sin(2x+π/4),
sin4x=（sin2x+cos2x）^2-1=2t^2-1,
则g(t)=2t^2-4t-1.
当x∈[-π/8,m]时，2x+π/4∈[0，2m+π/4]
由于g（-π/8）=-1（t=0）；
当t=1时，g(t)取得最小值-3;x=-π/8时，t=o.故m≥π/8,才能保证取得到-3.
g(t)在[0，1]上单调递减，所以f（x）的取值不可小于0.
这样易得m≤3/8π.
综上所述，π/8≤m≤3/8π.

Answer 3