Question

关于矩阵的一道数学证明题

(A-E)²=2(A+E)²，证明A+E可逆，并求A+E的逆矩阵

Answer 1

(A-E)²=2(A+E)²
—> A²-2A+E=2(A²+2A+E)
—> A²+6A+E=0
—> (A+E)(A+5E)=4E
—> (A+E)((A+5E)/4)=E
由矩阵可逆及逆矩阵的定义知A+E可逆且A+E的逆矩阵为(A+5E)/4。

补充：矩阵可逆及逆矩阵的定义：如果方阵A，B满足AB=BA=E，则称A，B可逆，且B称为A的逆矩阵，A称为B的逆矩阵。注意，方阵A，B若满足AB=E，则BA也等于E。

Answer 2

将等式两边展开得：
A^2-2A+E=2A^2+4A+2E, 即 A^2+6A+E=0, 于是 (A+5E)(A+E)=4E, 即
(A/4+5/4E)*(A+E)=E, 两边取行列式知 det(A+E)不为0，即A+E可逆，且
逆为 A/4+5/4E