Question

六年级奥数，求高人详解！

1. 抽干一口井，在无渗水的情况下，用甲抽水机要20分钟，用乙抽水机要30分钟，现因井底渗水，且每分钟渗水量相等，用两台抽水机抽18分钟正好抽干，如果用甲单抽水机单独抽水，用多少分钟把水抽干？

2.从1，2，3.......1989，1998这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其每两个数的差不等于4？

3. 某校有55个同学参加数学竞赛，已知若将参赛人任意分成4组，则必然有一组女生多于2人，又知参赛中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？

4. 有一类自然熟，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459，等，这类数共有多少个？

5. 甲乙丙三位同学一起去买书，他们买书的本书都是两位数字，且甲买的书最多，丙买的书最少，又知这些书的总和是偶数，它们的积是3960，那么乙最多买多少本书?

Answer 1

1、把无渗水情况下一口井的水量看作单位1，则甲抽水机每分钟可抽出1/20，乙抽水机可抽出1/30
这样，18分钟两台抽水机一共抽出水18×(1/20＋1/30)＝3/2
可见，在18分钟内渗进水(3/2－1)÷18＝1/36
于是，单用甲抽水机需要：1÷(1/20－1/36)＝45分

2、把1—1998分成以下四类：
1、5、9、13、...、1997
2、6、10、14、...、1998
3、7、11、15、...、1995
4、8、12、16、...、1996
显然，从任何两组中各取一个数，其差必不可能是4，而同一组中两数的差不为4，则差至少为8，这样可从以上四组中各取出249个数，共996个数，满足题目条件，如取以下数：
1、9、17、...、1993、2、10、18、...、1994、3、11、19、...、1995、4、12、20、...、1996

3、由参赛中任何10人中必有男生可知，女生人数不超过9人，又将参赛人任意分成4组，则必然有一组女生多于2人可考虑极端情况，每组两名女生还多一人，故知女生人数必不少于9人，两种情况综合考虑知女生人数为9人，从而男生为46人。

4、最高位最小是1，有：10112358、112358、12358、1347、1459、156、167、178、189
最高位为2有：202246、21347、2246、2358、246、257、268、279
最高位为3有：30369、31459、3257、3369、347、358、369
最高位为4有：40448、4156、4268、437、448、459
最高位为5有：5055、5167、5279、538、549
最高位为6有：6066、6178、628、639
最高位为7有：7077、7189、729
最高位为8有：8088、819
最高位为9有：9099
共有45个

5、三人买的书都是两位数，且其和为偶数，知三人购书数可能都是偶数也可能一个是偶数，另两个是奇数
由于3960＝2×2×2×3×3×5×11，如果两个奇数分别是11、15，那么那个偶数就是24
也可能是三个数分别是10、22、18
因此乙最多买了24本书

Answer 2

1. 18分钟抽水量：
1/20×18+1/30×18=3/2
每分钟渗水量：
(3/2-1)÷18=1/36
每分钟渗水1/36，每分钟抽水1/20，实际每分钟减少：
1/20-1/36=1/45
1÷1/45=45（分钟）

2.
分两组：
第一组：1、2、3、4；9、10、11、12；……；1985、1986、1987、1988；1993、1994、1995、1996；

第二组：5、6、7、8；13、14、15、16；……；1989、1990、1991、1992；1997、1998.
1992÷2+4=1000（个）
取第一组，最多可以取1000个数.
3.
若将参赛人任意分成4组，则必然有一组女生多于2人，即至少有一组有女生3人。
根据抽屉原理，女生至少有：
4×2+1=9（人）
任何10人中必有男生，同理，女生最多9人。
综合判断男生有：
55-9=46（人）
4. 列举：1打头：（21个）
101、1011、10112、101123、1011235、10112358；
112、1123、11235、112358；
123、1235、12358；
134、1347；145、1459；156、167、178、189；
2打头：（15个）
202、2022、20224、202246；213、2134、21347；
224、2246；235、2358；246、257、268、279；
3打头：（14个）
303、3033、30336、303369；314、3145、31459；
325、3257、336、3369、347、358、369；
4打头：（10个）
404、4044、40448；415、4156、426、4268、
437、448、459、
其他：（24）
505、5055、516、5167、527、5279、538、549、606、6066、617、6178、628、639、707、7077、718、7189、729、808、8088、819、909、9099、
21+15+14+10+24=84（个）
5.
3960=2×2×2×3×3×5×11
总和是偶数，则有：
偶+偶+偶=偶
奇+奇+偶=偶
3960=（2×5）×（2×11）×（2×3×3）=10×18×22
=（2×2×2×3）×11×（5×3×3）=24×11×45
=（2×2×2×3）×（3×5）×（3×11）=24×15×33
乙最多买24本。

Answer 3

1.甲工作效率：1÷20=1/20，乙工作效率：1÷30=1/30
两台抽水机抽18分钟正好抽干，所以甲乙两个一起抽走了：
18×（1/20+1/30）=3/2
原来的水无渗水的情况下只有1，甲乙抽了18分钟后多了（1.5-1）=0.5，所以可知每分钟的渗水量为：
（1.5-1）÷18=1/72
因此，如果要甲单独抽,那井水不仅仅只是减掉1/20，因为还有水渗入，所以甲单独抽，井水每分钟只减（1/20-1/72），所以甲单独抽需要抽这么多分钟：
1÷（1/20-1/72）=360/23（分钟）
答：.....................。
2.先取1 2 3 4，则5无法取，6也无法取，7也无法取，8也无法取，就可以发现，每连贯的8个数字当中，可以取前面取4张，则得
1998÷8=249.......6，剩余六张，能取其中4张
249×4+4=1000（张）
答：..........................。
3.任何10人中必有男生，说明女生最多只有9人，否则如果女生有10人，那任何10人中也有可能都是女生，所以男生人数为：
55-9=46（人）
答：.......................。
4.从第三位开始，也就是说这类数是3位数，
以1为开头的有：101、1011、10112、101123、1011235、10112358，112，1123，11235，112358，123，1235，12358，134，1347，145，1459，156，167，178，189，共21个
以2为开头的有：202、2022、20224、202246，213，2134，21347，224，2246，235，2358，246，259，268，279，共有15个
以3为开头的有：303、3033、30336、303369，314，3145，31459，325，3257，336，3369，347，358，369，共14个
以4为开头的有：404、4044、40448，415，4156，426，4268，437，448，459，共有10
以5为开头的有：505、5055，516，5167，527，5279，538，549，共有8
以6为开头的有：606、6066，617，6178，628，639，共有6
以7为开头的有：707、7077，718，7189，729，共有5
以8为开头的有：808、8088，819，共有3
以9为开头的有：909、9099共有2
因此有84个
答：...............。
5.3960=2×2×2×3×3×5×11
丙为最小，所以为2
乙应为2×3×5=30本，甲为2×3×11=66本
答：..................。