Question

已知函数f（x）=ax+b/1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（1/2）=2/5。（1）确定函数f（x）的解析式；

（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0。

Answer 1

(1).f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是奇函数，
(-ax+b)/[1+(-x)^2]=-(ax+b)/(1+x^2),
-ax+b=-ax-b,
b=0.
f(1/2)=2/5,
[a*(1/2)]/[1+(1/2)^2]=2/5,
a=1.
f(x)=x/(1+x^2).

(2).设-1<x<y<1,
因为y-x>0,且xy<1,1-xy>0,
所以y(1+x^2)-x(1+y^2)=(y-x)(1-xy)>0，
x/(1+x^2)<y/(1+y^2),
f(x)<f(y),
f(x)在区间(-1,1)内是增函数. 2f(t-1)+f(t)<0
f(t-1)<-f(t)=f(-t)
-1<t-1<-t<1
0<t<1/2