Question

定积分,如何估算区间

积分范围（0，1） f(x)=1/(1+x^15) 估算这个积分的范围，希望给出思路和答案

Answer 1

将1/(1+x^15)按照级数展开得
1/(1 + x^15)
=1 - x^15 + x^30 - x^45 + x^60-...+ (-x)^(15 n)
于是
∫1/(1 + x^15)dx
=1 - 1/16 + 1/31 - 1/46 + 1/61-...+1 /(15 n+1)
取前两项得积分值大于15/16≈0.9375
取前三项得积分值小于481/496≈0.969758
取的项数越多,越接近实际值.

Answer 2

对于形如∫[0,1]1/(1+x^a)dx的积分,最好的方法就是化成级数再求范围,而且精度可以随意控制.
1/(1+x^a)=∑(-x^a)^n=∑(-1)^n*x^(an)
∫[0,1]1/(1+x^a)dx=∑(-1)^n/(an+1)(n=0,1,2,....)
现在的问题是求S[n]=∑(-1)^n/(an+1)的范围,这是一个交错级数,可以考虑数列
b[n]=1/na-1/(na+1)=1/(na(na+1)),显然数列b[n]是一个递减数列,从而有
b[n]>b[n+1]
即1/na-1/(na+1)>1/((n+1)a)-1/((n+1)a+1)
移项可以得到:
(1) 1/(na+1)-1/((n+1)a+1)<1/na-1/((n+1)a)
(2) -1/(na+1)+1/((n+1)a+1)>-1/na+1/((n+1)a)
采用(1)放缩:
S[n]=1-1/(a+1)+1/(2a+1)-1/(3a+1)+....
<1-1/(a+1)+1/2a-1/3a+1/4a-1/5a+....
=1-1/(a+1)+(1-ln2)/a
采用(2)放缩:
S[n]=1-1/(a+1)+1/(2a+1)-1/(3a+1)+....
>1-1/a+1/2a-1/3a+1/4a+.....
=1-ln2/a
令a=15,得到
1-1/(a+1)+1/a(1-ln2)=1-1/16+(1-ln2)/15=241/240-ln2/15≈0.9579568550
1-ln2/a=1-ln2/15≈0.9537901880
从而一个比较精确地界为[1-ln2/15,241/240-ln2/15],如果把放缩其比延后的话,还可以得到更精确地解.

说明:[]均表示下标
上面利用了极限1-1/2+1/3-1/4+.....=ln2

Answer 3

解：性质：设M、m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值及最小值，则
m（b-a）≤∫（a，b）f（x）dx≤M（b-a）
根据以上性质求解就行，详见同济版高数（上）231页
由g（x）=1+x^15的单调性易得f（x）在区间（0，1）单调减少
故1/2=f（1）≤f（x）≤f（0）=1
所以1/2（1-0）≤∫（0，1）f（x）dx≤1（1-0）
即所求的积分范围是：[1/2，1]。