Question

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知根号3sinAsinB+cosAsinB-sinC=0
（1）求角B的大小
（2）设b等于根号3，S为三角形ABC的面积，求S+3cosAcosC的最大值，并指出此时角A与角C的值

Answer 1

（1）在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知根号3sinAsinB+cosAsinB-sinC=0
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
根号3sinAsinB+cosAsinB-sinC
=根号3sinAsinB+cosAsinB-sinAcosB-cosAsinB
=(根号3-1)sinAcosB=0
所以sinAcosB=0
因为 0<A<π sinA>0
所以 cosB=0 B=π/2
（2） b等于根号3
设两直角边分别为a,c a^2+c^2=3
S=ac/2
cosA=c/b cosC=a/b

S+3cosAcosC
=ac/2+ac/3
=5ac/6
因为 3=a^2+c^2>=2ac (均值定理)
所以 ac<=3/2
5ac/6<=5/6*3/2=5/4
当且仅当 a=c时 ,有最大值5/4
此时三角形为等腰直角三角形，所以A=C=π/4