Question

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足（a-b）²-2ab+a²b²+1=

0（1）判断△ABC的形状，并求a的值（2）如图，作△ABC的∠A角平分线AD，若AC+CD=AB，求△ABC的面积

Answer 1

（1）（a-b）²-2ab+a²b²+1=0=（a-b）²+（ab-1）²
仅当（a-b）²=0且（ab-1）²=0时有解，
即a=b,ab=1,解得a=b=1
所以三角形为等腰三解形
（2）过D作为CD关于AD的对称直线，交AB于E
由于AD为△ABC∠A角的平分线，CD、DE关于AD对称，△ADC与△ADE全等，则<ADE=<ADC
又AC+CD=AB，AC=AE，CD=DE，所以AE+DE=AB
又AB=AE+EB，所以DE=EB，则<B=<BDE
设<DAB=<CAD=x
则<B=<A=2<DAB=2x,<BDE=<B=2x, <C=180-<A-<B=180-4x,
<ADE=<ADC=180-<DAC-<C=180-x-(180-4x)=3x
所以，<BDC=<BDE+2<ADE=2x+2*3x=8x=180
x=22.5
<A=<B=2x=45
<C=90
△ABC为直角三角形，S△ABC=1/2ab=1/2