Question

已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．若AB＝8 求直线l的方程。

Answer 1

设抛物线y²=4x的准线为L，L与x轴交于点M
焦点为F，则点F坐标为(1，0)
过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为A'、B'
再过点B作AA'的垂线，垂足为C，且BC交x轴与点D
由抛物线定义可知，
|FM|=2,|AA'|=|AF|，|BB'|=|FB|
不妨先设|FB|=a，|AF|＞|FB|（由于|AB|≠2p=4，故AB不是抛物线的通径，即|AF|≠|FB|）.
则|AF|=8-a
则|AC|=|AA'|-|BB'|=8-2a，|FD|=2-a
由于直角△BDF∽直角△BCA
因此|FD|/|AC|=|BF|/|BA|
解之得a=4-2√2（其中4+2√2＞8/2=4，舍去）
则sin角BFD=|FD|/|FB|=√2/2，即角BFD=45°
则kAB=tan角BFD=1
对称的，当|AF|＜|FB|时，角BFD=135°，kAB=-1
故所求直线AB的方程为
y=x+1或y=-x+1

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Answer 2

F(1,0)
y=k*(x-1)
x=(y+k)/k
y^2=4*(y+k)/k
ky^2-4y-4k=0
yA+yB=4/k,yA*yB=-4
(yA-yB)^2=(yA+yB)^2-4yA*yB=(16+16k^2)/k^2
(xA-xB)^2+(yA-yB)^2=AB^2
(1+1/k^2)*(16+16k^2)/k^2=8^2
k=±1
y=±(x-1)