Question

已知函数f(x)=x^2,x>1,x^-4x+4,x≤1,若f(2m+1)>f(m^2-2),则实数m的取值范围

Answer 1

f(x)=x^2
=[(x-1)+1]^2 (x>1，增函数)
f(x)=x^2-4x+4
=(x-2)^2
=[(x-1)-1]^2
=[1-(x-1)]^2 (x<=1，减函数)
可见f(x)关于x=1对称。
f(2m+1)>f(m^2-2)
（1）2m+1<m^2-2<=1
m^2-2m>3
(m-1)^2>4
m-1<-2或者m-1>2
m<-1或者m>3
且m^2-2<=1
m^2<=3
-√3=<m<=√3
∴-√3=<m<-1
（2）2m+1>m^2-2>1
m^2-2m<3
(m-1)^2<4
-2<m-1<2
-1<m<3
且m^2-2>1
m^2>3
m<-√3或者m>√3
∴√3<m<3
（3）2m+1<=1且m^2-2>1
即m<=-1且m<=-√3或者m>=√3
即m<=-√3时
2m+1<1-(m^2-2-1)
2m<3-m^2
m^2+2m<3
(m+1)^2<4
-2<m+1<2
-3<m<1
∴-3<m<=-√3
（4）2m+1>1且m^2-2<=1
即m>-1且-√3=<m<=√3
即-1<m<=√3时
2m+1>1+[1-(m^2-2)]
2m>3-m^2
m^2+2m>3
(m+1)^2>4
m+1<-2或者m+1>2
m<-3或者m>1
∴1<m<=√3
综述，m的取值范围：-3<m<-1或者1<m<3