Question

问数列极限的题目.

等比数列{an},a1＝1,各项和S存在,则lim(S1＋S2＋……＋Sn－nS)＝?

Answer 1

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(1-q^n)/(1-q)
S=1/(1-q)
S1＋S2＋……＋Sn－nS
=(1-q+1-q²+1-q³+……+1-q^n-n)/(1-q)
=-(q+q²+……+q^n)/(1-q)
=-q(1-q^n)/(1-q)^2
因为|q|<1
所以q^n趋于0
所以极限=-q/(1-q)^2

Answer 2

各项和S存在
|q|<1
则Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(1-q^n)/(1-q)
S=a1/(1-q)=1/(1-q)

所以S1＋S2＋……＋Sn－nS
=(1-q+1-q²+1-q³+……+1-q^n-n)/(1-q)
=-(q+q²+……+q^n)/(1-q)
=-q(1-q^n)/(1-q)
|q|<1，q^n趋于0
所以极限=-q/(1-q)