Question

已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax^2+bx+c

已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax^2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1<=x<=1,时|f(x)\\<=1.设a>0,当-1<=x<=1时,g(x)的最大值为2,求f(x).

Answer 1

a>0时 g(x)是单调递增函数，若-1<=x<=1，则g(x)在x=1处取最大值 g(1)=a+b=2 ……（1）
a>0时 f（x）开口向上，-1<=f（x）/<=1
1）当-b/2a<-1时，f（x)最大值、最小值在1和-1处取得
f（1）=a+b+c=1……（2）,
f（-1）=a-b+c=-1……（3）
联解（1）、（2）、（3）得a=1，b=1，c=-1 不满足-b/2a<-1
2）当-b/2a>1时,f（x)最大值、最小值在-1和1处取得
f（1）=a+b+c=-1……（4）
f（-1）=a-b+c=1……（5）
联解（1）、（4）、（5）得a=3，b=-1，c=-3 不满足-b/2a>1
3）当-1<=-b/2a<=1时,f（x)最小值f（-b/2a）=(b^2-4ac)/4a=-1
最大值为f（1）=a+b+c=1或f（-1）=a-b+c=1
若最大值为f（1）=a+b+c=1，无解
若最大值为f（-1）=a-b+c=1
解得a=2/3，b=4/3，c=5/3，满足条件
综合上面，f（x）=（2/3）x^2+(4/3)x+5/3

Answer 2

1.x=0时f(x)=c，|f(x)|=|c|，由题意|c|<=1
2.f(x)=x(ax b) c=xg(x) c，分别取x=-1和x=1代入得到
|f(-1)|=|-g(-1) c|=|g(-1)-c|<=1
|f(1)|=|g(1) c|<=1
所以|g(-1)|=|g(-1)-c c|<=|g(-1)-c| |c|<=2
|g(1)|=|g(1) c-c|<=|g(1) c| |-c|<=2
因为g(x)是一次函数，两端的函数值的绝对值都不大于2，可以知道在-1<=x<=1上都有|g(x)|<=2