Question

已知函数f(x=|x-a|-9/x+a,x属于1,6的闭区间,a属于R

已知函数f(x=|x-a|-9/x+a,x属于1，6的闭区间，a属于R.（1）若a=1,试判断并证明函数f(x)的单调性，（2）当a属于1，6的开区间时，求函数f(x)的最大值的表达式M(a)

重点是第二小题
拜托了~~~

Answer 1

(1)∵函数f(x)=|x-a|-9/x+a, x∈[1，6]，a∈R.令a=1，f(x)=|x-1|-9/x+1当x>=1时，f(x)=x-9/xF’(x)=1+9/x^2>0∴函数f(x)单调递增

(2)∵函数f(x)=|x-a|-9/x+a , x∈[1，6]，a∈(1，6) 当1<=x<a时，f(x)=2a-x-9/x令f’(x)=-1+9/x^2=0==>x=3f’’(x)=-18/x^3==> f’’(3)=-2/3<0，f(x)在x=3处取极大值f(3)=2a-3-9/3=2a-6当a<=x<=6时，f(x)=x-9/xF’(x)=1+9/x^2>0，函数f(x)单调增；f(x)的最大值=f(6) = 6-9/6 = 27/6 = 9/2当 3 <= a < 6, f(x)的最大值的表达式M(a) = max{2a-6, 9/2}当 1 < a < 3, M(a) = 9/2令9/2=2a-6, a=21/4 当a∈[1，21/4] 时, 9/2 > 2a-6, M(a) = 9/2. 当a∈(21/4, 6) 时, 9/2<2a-6， M(a) = 2a - 6

Answer 2

若a<x,f(x)=x-9/x
f'(x)1-9/x^2,1<=x<=3,递减,3<x<=6,递增
M(a)=f(6)=4.5
若a>x,f(x)=2a-x-9/x
f'(x)=-(1+9/x^2)<0,递减
M(a)=f(1)=2a-10