Question

根据条件求标准方程

（1）求与双曲线x²/16 - y²/4=1有公共焦点，且过点（3√2,2）的双曲线方程
（2）已知抛物线的准线方程为y=-2，求标准方程
（3）已知双曲线的一条渐进线为y=2x，且过点（1,2√2）
详解，谢谢！

Answer 1

(1)
双曲线x²/16 - y²/4=1
c²=16+4=20
c=2√5
公共焦点
∴设双曲线为x²/a²-y²/(20-a²)=1
将点(3√2,2)代入得
18/a²-4/(20-a²)=1
化简得
(a²-12)(a²-30)=0
∴a²=12(a²=30>c²，舍去）
∴b²=20-a²=8
双曲线方程
x²/12-y²/8=1
(2)
抛物线的准线方程为y=-2
焦点是(0,2)
∴抛物线标准方程x²=8y
(3)

当双曲线为x²/a²-y²/b²=1时
渐近线y=2x
b/a=2
b²=4a²
将(1,2√2）代入x²/a²-y²/(4a²)=1
得
1/a²-2/a²=1
不成立，舍去
当双曲线为y²/a²-x²/b²=1时
渐近线y=2x
a/b=2
将(1,2√2）代入y²/4b²-x²/b²=1
得
b²=1
a²=4
∴双曲线方程是
y²/4-x²=1
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