Question

在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中侧棱A1A垂直于面ABCD，AB平行于DC，AB垂直于AD，A

在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中侧棱A1A垂直于面ABCD，AB平行于DC，AB垂直于AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点

Answer 1

证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．

易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，
所以B1C1⊥CE.
(2)＝(1，－2，－1)．

设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

则即

消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．

由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，

故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝，

从而sin〈m，〉＝.
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.
(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．
设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．
可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则
sin
θ＝|cos〈，〉|＝

＝.
于是，解得，

所以AM＝.
(方法二)
(1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，

所以CC1⊥B1C1.

经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，

从而B1E2＝，

所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，

又CC1，C1E平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，

所以B1C1⊥平面CC1E，
又CE平面CC1E，故B1C1⊥CE.
(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.
由(1)，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，

所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角．

在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.
在Rt△B1C1G中，B1G＝，
所以sin∠B1GC1＝，

即二面角B1－CE－C1的正弦值为.
(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．

设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝，AH＝.
在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，得EH＝.
在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，

由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos
135°，得，

整理得5x2－－6＝0，解得x＝.
所以线段AM的长为.

Answer 2

你要求什么