Question

求一元二次方程 公式的推导

求公式的推导方法

Answer 1

一元二次方程求根公式详细的推导过程。
一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax^2+bx+c（一元二次方程的基本形式）推导根公式的详细过程如下，
1、ax^2+bx+c=0（a≠0，^2表示平方），等式两边都除以a，得x^2+bx/a+c/a=0，
2、移项得x^2+bx/a=-c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b^2/4a^2，
3、配方得x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2-c/a，即（x+b/2a）^2=（b^2-4ac）/4a，
4、开根后得x+b/2a=±[√（b^2-4ac）]/2a（√表示根号），最终可得x=[-b±√（b^2-4ac）]/2a。
一、一元二次方程求根公式
1、公式描述：一元二次方程形式:ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数）。

2、满足条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
（2）只含有一个未知数。
（3）未知数项的最高次数是2。

Answer 2

教学重点、难点、疑点及解决方法

1.教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程。

2.教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解。

3.教学疑点：1.推导方程 的求根公式与用配方法解方程

的异同。2.在求根公式的推导过程中有这样的步骤：

由“ 得 ”正确理解第二个等式中的“ ”不是第一个等式中的“ ”的简单延续。

教学步骤

（一）明确目标

通过作业及练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困难。能不能寻求一个简单的公式，快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题，公式法的产生极好地解决了这个问题。

（二）整体感知

由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤和减小了计算量，使学生能快速、准确求出方程的解。公式法是解一元二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化。

求根公式的推导过程，蕴含着基本理论的应用，例如：等式的基本性质，配方的含义。完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质，同时也蕴含着一种分类的思想。

通过公式的推导，深刻理解基本理论和方法，培养学生进行数学推理的严密性和严谨性。

（三）重点、难点的学习和目标完成过程

1.复习提问：有配方法解下列方程。

1.（1） ，（2） 。

通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫。

2.用配方法解关于x的方程， 。

解：移项，得
配方，得
即 。

当 。

∴ ， 。

教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫。

3.用配方法推导出一元二次方程 的根。

解：因为 ，所以方程的两边同除以a，

得： 。①

移项，得： .

配方,得 .

即 。

∵a≠0，∴ 当 时。

得 。②

即 。

∴ ， 。

①②两步是学生易忽略的步骤，这两步实质上是为运用等式的基本性质和开方运算准备前提条件。①②步可培养学生有理有据的严谨的数学推理习惯，使学生逐步养成有条件，有根据才能有结论的推理习惯。

从上面的结论可以发现：

（1）一元二次方程 的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的。

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在 的前提下，把a、b、c的值代入 中，可求得方程的两个根。

（3）我们把 称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

4.例1解方程
解：∵a=1,b=-3,c=2.

又∵ ,

∴
∴
在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”。不要边代边算，易出错。并引导学生总结步骤1.确定a、b、c的值。2.算出 的值。3.代入求根公式求出方程的根。

练习：P.16中2（1）�（7），通过练习，熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力。

5.例2解方程 。

解：移项，得 。

∵a=1, ,c=2,

又∵ ，

∴ 。

∴ 。

例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的 ，方程有两个相同的实数根，应写成 ，而不能写成 。

由此例可以总结出一般一元二次方程求解利用公式法的步骤：1.化方程为一般形式。2.确定a、b、c的值。3.算出 的值。4.代入求根公式求解。

Answer 3

用配方法.
令 ax^2+bx+c=0. (a≠0,^2表示平方)
等式两边各乘以4a,得,
4a^2x^2+4abx+4ac=0,
即 (2ax)^2+2×2abx+4ac=0.
等式左边加b^2再减去b^2,则,
(2ax)^2+2×2abx+b^2-b^2+4ac=0.
即 (2ax+b)^2=b^2-4ac.
故 2ax+b=±√(b^2-4ac). (√表示根号)
得: x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a.

Answer 4

1. 了解什么叫配方法，会用配方法解一元二次方程；

2. 掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程。

过程与方法：

1. 在具体的解方程中理解配方法的实质；

2. 通过用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）导出一元二次方程的求根公式。

情感、态度与价值观：

进一步体会数学知识之间的内在联系，体验转化的数学思维，渗透辩证唯物主义思想。

教学重点：

1. 掌握配方法解一元二次方程的步骤和方法；

2. 推导一元二次方程的求根公式及应用公式法解一元二次方程。

教学难点：

1. 用配方法解一元二次方程的过程；

2. 推导一元二次方程的求根公式的过程。

方法指导：

1. 配方法适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，同学们应把握好配方的步骤与方法。

2. 公式法是解一元二次方程的一般方法，它适用于所有一元二次方程。

运用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，在b2－4ac≥0的前提下，再代入求根公式。

〖主要内容〗

1. 把形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一元二次方程通过配方变形为（x＋m）2＝n（n≥0）的形式，然后用直接开平方法解一元二次方程，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

2. 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，同时在数学的其它方面也有重要的应用。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

（1）化二次项系数为1

（2）移项：使方程左边只有二次项和一次项，常数项在右边。

（3）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方。

（4）方程变形为（x＋m）2＝n的形式

3. 公式法是求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

即方程有解的条件是：b2－4ac≥0

如果b2－4ac＜0时，该一元二次方程没有实数根，在应用公式解一元二次方程时，也应将方程化为一般形式。

4. 用求根公式解一元二次方程的一般步骤：

（1）把一元二次方程化成一般形式；

（2）确定公式中a、b、c的值；

（3）求出b2－4ac的值。

（4）若b2－4ac≥0，则把a、b、c及b2－4ac的值代入公式即可求解；若b2－4ac＜0，此时方程无实数根。

Answer 5

a*x^2 + b*x + c = 0 .......a ≠ 0

方程两边除以 a 得：

x^2 + (b/a)*x + c/a = 0

配方——

x^2 + 2*(b/2a)*x + (b/2a)^2 + c/a - (b/2a)^2 = 0
[ x + (b/2a) ]^2 = (b/2a)^2 - c/a = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
Δ = b^2 - 4ac

x = (-b ± √Δ)/(2a)