Question

在等腰三角形ABC中，AB=AC,以AC为直径画半圆交BC于点D

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,以AC为直径画半圆交BC于点D，作DE⊥AB，延长DE交AC的延长线于点F.
①求DE为圆O的切线
②若圆O的半径为2，BE为1，求cosA的值

Answer 1

①证明：连接OD，AD。
∵AC是圆O的一条直径，
∴∠ADC=90°（直径所对的圆周角等于90°）
∴AD⊥BC
又∵AC=AB，
∴AD是BC边的中线（等腰三角形底边上的中线与高重合）
∴CD=BD
又灶扰消∵OC=OA
∴OD是△ABC的一条中位线。
∴OD∥AB
又∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD
∴DE是圆O的切线。
②解：AB=AC=2OC=4，AE=AB-BE=3
由射影定理，DE²=AE×BE=3×1=3，∴DE=√3.（或证△ADE∽△DBE，得AE/DE=DE/BE，也可求出DE）
∵OD∥AE，
∴隐知OF/OA=DF/DE（平行线分线段成比例定理），∠CAB=∠FOD（两直线平行，同位角相等）
∴DF/OF=DE/OA=√3/2
即sin∠FOD=√3/2
∴∠FOD=60°
∴∠CAB=60°
∴cos∠CAB=1/2
即题目中李罩所说的cosA=1/2

Answer 2

①证明：连接OD，AD。
∵AC是圆O的一条直径，
∴∠ADC=90°（直径所对的圆周角等于90°）
∴AD⊥BC
又∵AC=AB，
∴AD是BC边的中帆祥线（等腰三角形底边上的中线与高重合）
∴CD=BD
又∵OC=OA
∴OD是△ABC的一条中位线。
∴OD∥做余AB
又∵DE⊥AB，
∴DE⊥态胡搏OD
∴DE是圆O的切线。