Question

如图，已知在△ABC中,∠B=2∠C,∠BAC的角平分线交BC于D,求证AB+BD=AC

Answer 1

在AC取一点E使AB=AE
连接DE
易证△ABD全等△AED
所以∠B=∠AED
BD=DE
又因为∠B=2∠C
所以∠AED=2∠C
因为∠AED是△EDC的外角
所以∠EDC=∠C
所以ED=EC
BD=EC
所以AB+BD=AE+EC=AC

Answer 2

在AC取一点E使AB=AE连接DE
在△ABD与△AED中：
∵∠BAD=∠DAC (AD平分∠BAC)
AB=AE
AD=DA
∴△ABD全等△AED（SAS)
∴∠B=∠AEDBD=DE

又∵∠B=2∠C
∴∠AED=2∠C

∵∠AED是△EDC的外角

∴∠EDC=∠C

∴ED=EC
∴BD=EC

∴AB+BD=AE+EC=AC

Answer 3

证明：
在AC取一点E使AB=AE连接DE
在△ABD与△AED中：
∵∠BAD=∠DAC (AD平分∠BAC)
AB=AE
AD=DA
∴△ABD全等△AED（SAS)
∴∠B=∠AEDBD=DE

又∵∠B=2∠C
∴∠AED=2∠C

∵∠AED是△EDC的外角

∴∠EDC=∠C

∴ED=EC
∴BD=EC

∴AB+BD=AE+EC=AC

Answer 4

延长AB到E使BE=BD连ED则角BED=角BDE=1/2角ABC=角C
在三角形AED,和三角形ACD中AD=AD, 角E=角C, 角BAD=角CAD
所以三角形AED和三角形ACD全等, 所以AC=AE=AB+BE=AB+BD.

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