Question

AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结

AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE。 （1）求证：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长。

Answer 1

分析：

（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；

（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC^2+BC^2=AB^2，可得方程：（x-2）^2+x^2=4^2，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．

 

解答：

（1）证明：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；

（2）

解：设BC=x，则AC=x-2，
在Rt△ABC中，AC^2+BC^2=AB^2，
∴（x-2）^2+x^2=4^2，
解得：x₁=1+根号7，x₂=1-根号7（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB，
∴CE=CB=1+根号7

Answer 2

BC-AC=2，BC^2+AC^2=AB^2=16,得出BC=(√30)/2+1
△DEB是直角三角形，C是斜边BD的中点，因此EC=BC=CD=BC=(√30)/2+1

Answer 3

（1）证明： ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴A C⊥BC，∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B= ∠D； （2） 解：设BC=x，则AC=x-2，在Rt△ABC中， AC^2+BC^2=AB^2，∴（x-2）^2+x^2=4 ^2，解得：x1=1+根号7，x2=1-根号7（ 舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D= ∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1 +根号7

Answer 4

：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x-2，在Rt△ABC中，AC^2+BC^2=AB^2，∴（x-2）^2+x^2=4^2，解得：x1=1+根号7，x2=1-根号7（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+根号7