Question

数学分析题

设f属于C[0,1]且f(0)=f(1)，求证对任何n属于N*存在xn属于[0，1]使得f(xn)=f(xn+1/n)

Answer 1

对任何n，设g(x)=f(x)-f(x+1/n)，x∈[0,1-1/n]
则g(x)∈C[0,1-1/n]，若g(x)在[0,1-1/n]上没有零点
则g(x)在[0,1-1/n]上恒大于0或小于0，即保持同号
而0=f(0)-f(1)=f(0)-f(1/n)+f(1/n)-f(2/n)+...+f((n-1)/n)-f(1)
=g(0)+g(1/n)+...+g((n-1)/n)
显然上面等式右边也是保持同号，不可能等于0
∴矛盾，即存在xn，使得g(xn)=0，即f(xn)=f(xn+1/n)