Question

已知圆C的方程为x^2+y^2-2x-4y+m=0其中m<5

已知圆C的方程为x^2+y^2-2x-4y+m=0若圆C与直线L:x+2y-4=0相较于M,N两点,且|MN|=4/5√5,求M的值.
(2)在上面1的条件下，是否存在直线L:x-2y+C=0,使得圆上有四点到直线L的距离为√5/5,若存在，求出C的取值范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

第一问
x^2+y^2-2x-4y+m=0
变成标准方程得
(x-1)^2+(y-2)^2=5-m

圆心是(1,2),半径=√(5-m)
圆心到直线距离

=|1+4-4|/√5
=√5/5
|MN|=4√5/5

∴弦|MN|的一半是2√5/5
∴半径²=(√5/5)²+(2√5/5)²
得m=4
(2)
设存在这样的直线
圆心(1,2)，半径r=1
则圆心到直线l：x-2y+c=0的距离
d=|1-4+C|/√5<|1-√5/5|
得

4-√5<C<2+√5

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Answer 2

x^2+y^2-2x-4y+m=0和x+2y-4=0联立得5y^2-16y+m+8=0
利用韦达定理y1+y2=16/5
y1*y2=(8+m)/5
利用直线方程x1*x2=(4-2y1)*(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1*y2=4m/5-16/5
又OM⊥ON所以x1*x2+y1*y2=4m/5-16/5+(8+m)/5=m-8/5=0 所以m=8/5
2.以MN为直径的圆的圆心为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)利用前面结果算出为(4/5,8/5).
下算直径圆C的圆心(1,2)到直线L的距离d=(1-4+4)/√5=1/√5，圆C半径平方为5-m=17/5,所以所求圆的半径平方=17/5-(1/√5)^2=16/5
所以圆方程为(x-4/5)^2+(y-8/5)^2=16/5