Question

高一数学：若不等式2的x次方-LOGaX<0,当x属于（0,1/2）时恒成立 求实数a的取值范围

若不等式2的x次方-LOGaX<0,当x属于（0,1/2）时恒成立 求实数a的取值范围

Answer 1

1、把log的项移到右边；
2、就变成2的x次方<log项（左边小于右边）；
3、让f(x)=左边，g(x)=右边；
4、在x0y坐标系中作出f(x)和g(x),大致一下就行了；
5、【情况一，a>1时】
可以看出f(x)呈一个凹函数的形状，g(x)呈一个凸函数的形状,
也就是，f(x)的曲线向下凹，g(x)的曲线向上凹；
所以，可以看出f(x)与g(x)有三种情况:
a、不相交，没有交点，f(x)恒在g(x)上方，则f(x)<g(x)恒不成立；
b、相交，有一个交点，也就是俩曲线一粘即走，固f(x)<g(x)仍恒不成立；
c、相交，有两个交点m、n（m<n），故f(x)<g(x)在(m,n)上成立。
【情况二,0<a<1时】
可以看出此时，f(x)递增而g(x)递减,而g(x)必将小于0,所以
f(x)与g(x)必然有且仅有一个交点，假设这个交点为(m,n),
当0<x<m时，f(x)<g(x)；当x>=m时，f(x)>=g(x)；
6、根据题意，当x属于（0,1/2)时恒成立，很明显属于情况二，
此时，0<a<1,将1/2代入f(x)=g(x)中，求出a的值，
a = sqrt(sqrt(2)^sqrt(2))；
7、接着就要考虑a的值，使得（0，1/2)在a确定的范围内，
那么到底是取大于a，还是小于a呢？
这里如果不清楚log的变化性质的话，你可以将找个例子对比一下，
比如log1/2(1/2)=1,log1/4(1/2)=1/2,1>1/2,
所以同样的，我们应该取a更大的值，所以a>sqrt(sqrt(2)^sqrt(2))，
8、综合条件，
sqrt(sqrt(2)^(2))<a<1；
9、以上，完结了，a的那个相交值应该没错吧。

Answer 2

建议LZ运用数形结合比较直观。移项后可以看成在同一坐标系中的两个函数：2的X此方和LOGaX。
可以看到前一个递增，而后一个需要讨论。首先a大于1不合题意。小于一时，递减可知当X等于二分之一时最小，所以有LOGa0.5大于根号二即可。
我这儿没有笔，只能纸上谈兵。不知道说明没有。lz有问题还可以留言。

Answer 3

(0,1/2)