Question

已知a,b,c均为正数，证明：a^2+b^2+c^2+（1/a+1/b+1/c）^2>=6√3

Answer 1

证明：
（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得 {a2+b2+c2≥3(abc)231a+1b+1c≥3(abc)-13①
所以 (1a+1b+1c)2≥9(abc)-23②（
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)23+9(abc)-23．
又 3(abc)23+9(abc)-23≥227=63③
所以原不等式成立
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当 3(abc)23=9(abc)-23时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c= 314时，原式等号成立．
（证法二）
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 {a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ac
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理 1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac②
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2③
≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac
≥63所以原不等式成立．
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c= 314时，原式等号成立

Answer 2

证明：
a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2
=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca 由均值不等式：1/a^2+1/b^2>=2/ab1/b^2+1/c^2>=2/bc1/c^2+1/a^2>=2/ca 上三式相加得2(1/a^2+1/b^2+1/c^2)>=2(1/ab+1/bc+1/ca)也即1/a^2+1/b^2+1/c^2>=1/ab+1/bc+1/ca
所以a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca>=a^2+b^2+c^2+3(1/ab+1/bc+1/ca)=(a^2+3/ab)+(b^2+3/bc)+(c^2+3/ca)>=2√(3a/b)+2√(3b/c)+2√(3c/a)>=6√3

得证。。