Question

数学题求解谢谢

已知函数f(x)=alnx-bx²,当a=2,b=1/2时，求函数f(x)在【1/e,e】上的最大值

Answer 1

当a=2,b=1/2时，f(x)=alnx-bx²=2lnx-x²/2，f′(x)=2/x-x=（2-x²)/x，
因为 √2∈[1/e,e] ， x∈[1/e,√2] 时 ，f′(x)>0，f(x)是增函数，最大值f(√2)=2ln(√2)-(√2)²/2=ln2-1
x∈[√2,e]时，f′(x)<0，f(x)是减函数，最大值f(√2)=2ln(√2)-(√2)²/2=ln2-1
所以f(x)在[1/e,e]上的最大值为f(√2)=ln2-1 =ln（2/e）

Answer 2

f(x)=2lnx-x^2/2
f'(x)=2/x-x
f'(x)=0
解得x=±√2
当x〉√2时 f'<0,此时f在此区间单调减
当-√2<=x<=√2
f'>0此时f在此区间单调增
因为x在{1/e,e}区间，√2在此区间，
此时f（x）取得最大值为
f(√2)=2ln√2-√2^2/2
=ln2-1