Question

证明等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值（利用点到直线的距离公式）

Answer 1

以等边三角形一边所在直线为x轴，该边中垂线为y轴，建立坐标系，不妨设三角形位于x轴上方。。。

设三角形边长为2a，则三边方程分别为：

L1、y=0

L2、y=(√3)x+(√3)a

L3、y=(-√3)x+(√3)a

设三角形内一点P(x0,y0),显然P点在直线L2,L3下方，所以必然满足

y0<(√3)x0+(√3)a、y0<(-√3)x0+(√3)a

所以h1+h2+h3

=y0+|(√3)x0+(√3)a-y0|/2+|(-√3)x0+(√3)a-y0|/2

=y0+[(√3)x0+(√3)a-y0]/2+[(-√3)x0+(√3)a-y0]/2

=(√3)a

为定值！

Answer 2

设三角形为ABC，内部的点为P，P到三边的距离为h1,h2,h3
△ABC的高为h，边长为a

连接PA，PB，PC
利用面积可得：
1/2ah1+1/2ah2+1/2ah3=1/2ah
所以：h1+h2+h3=h
是定值
如果用解几方法，则需建立坐标系，然后得到三边所在的直线方程，运用点到直线的距离公式，只不过要注意需要把绝对值去掉，才能三个数相加，这一点要根据点在三角形内部，从而和直线有上下关系，运用直线分平面成区域的二元一次不等式，来判断正负，有点麻烦，还不如纯几何方法好用。