Question

已知k为常数，关于x的一元二次方程（K²-2k)x²+（4-6k)x+8=0的解都为整数，求k的值。

答案有3个，有一个解是分数，可不知道怎么做。

Answer 1

可以十字相乘法来分解：
(kx-2)[(k-2)x-4]=0
得：kx-2=0或(k-2)x-4=0
即x1=2/k, x2=4/(k-2) (当k≠2时）
因此k为2的因数，k-2为4的因数
k只可能为1,2,-1,-2
k=1时，x1=2,x2=-4，符合
k=2时，解只有一个，x1=1为整数，符合
k=-1时，x1=-2,x2=-4/3，不符
k=-2时，x1=-1,x2=-1,符合
综合得：k=1,2, -2

Answer 2

当k=0时，方程为一元一次方程
4x+8=0
x=-2
当k=2时，方程为一元一次方程
-8x+8=0
x=1
当k≠0且≠2时：
(k²-2k)x²+(4-6k)x+8=0

(kx-2)[(k-2)x-4]=0
x1=2/k，x2=4/(k-2)
当k=1时，方程有两个整数解

∴k=0或k=1或k=2

Answer 3

当k=0时原方程化4x+8=0解得x=-2.故当k=0时原方程解都整数.
当k=2时原方程化-8x+8=0解得x=1.故当k=2时原方程解都整数.
当k≠0或2时原方程化(kx-2)[(k-2)x-4]=0.
解得x1=2/kx2= .
由x1=2/k得k=2/x1.
把k=2/x1代入x2= 得x1x2+2x1-x2=0.
故(x1-1)(x2+2)=-2=1×(-2)=2×(-1).
因x1、x2整数所x1-1、x2+2也均整数.于有
x1-1=1x2+2=-2 或x1-1=-2x2+2=1
或x1-1=2x2+2=-1 或x1-1=-1x2+2=2.
分别解得x1=2x2=-4或x1=-1x2=-1或x1=3x2=-3或x1=0x2=0(舍去).
故k=1-22/3.
综上k值-2012或2/3