Question

如图，⊿ACB，⊿AED都为等腰三角形，∠AED=∠ACB=90°,点D在AB上，连CE，M·N分

别为BD·CE的中点。1）求证：MN⊥CE。2）如图，将⊿AED绕A点逆时针旋转30°，求证：CE=2MN

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Answer 1

（1）如左图，连接CD，取CD中点G，连接MG,NG
∵△ABC, △ADE均为等腰直角三角形，点D在AB上
∴有ED∥AC，AE∥BC，ED⊥BC，AE⊥AC
又M,N,G分别为BD,CE,CD中点，
∴有MG∥BC，且MG=1/2BC=1/2AC；NG∥DE，且NG=1/2DE=1/2AE
又由ED⊥BC可知，NG⊥MG
由SAS关系可知，△GMN∽△ACE，
∴MN/CE=MG/BC=1/2，即MN=1/2CE
（2）如右图，当△ADE旋转后，取AC中点H，连接NH
由于M,G,N,H均为中点，易知有如下平行关系：
MG∥BC, NG∥DE, NH∥AE；且MG=1/2BC=1/2AC, NG=1/2DE=1/2AE
且有如下角度关系：
∠MGD=∠BCG (1)
∠NGD=∠GNC+∠GCN=∠DEC+∠GCN (2)
∠NHA=∠HNC+∠HCN=∠AEC+∠HCN (3)
∠DEC+∠AEC=∠AED=90° (4)
∠BCG+∠GCN+∠HCN=∠ACB=90° (5)
180°=∠NHA+∠NHC=∠NHA+∠EAC (6)
上述六式相加，消去两边相同项，可得
∠MGD+∠NGD=∠MGN=∠EAC
同样由SAS关系可得，△GMN∽△ACE
∴MN/CE=MG/AC=1/2，即MN=1/2CE
即△ADE绕A点旋转后，第一题的结论仍然成立
由上面的平行及相似关系可得：∠NMG=∠ACE, ∠GMC=∠BCM
∴∠NMC=∠NMG+∠GMC=∠ACE+∠BCM
∴∠MNE=∠NMC+∠MCN=∠ACE+∠MCN+∠BCM=∠ACB=90°
∴MN⊥NE，即MN⊥CE，得证。

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