Question

数学初三压轴题，速度啊亲！

如图1所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，角ABC=90°，AC=CD=10cm，AB=8cm，点P由点C出发沿CA方向运动，同时点E由A出发沿AB方向运动，点P与点E的运动速度都是1cm/s，当点E运动到点B，两点的运动停止，过点E作EF∥AD，分别交CD、AC于点F、点G，连接EP，设点E的运动时间是t（秒），回答下列问题。
（1）当t取何值时，EP∥BC？
（2）是否存在t值，使△PEG为等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的t值

Answer 1

（1）EP∥BC时，AE：AB=AP：AC，故AE：AP=AB：AC=4:5
AE=t，AP=AC-CP=10-t，t/（10-t）=4/5，解得t=40/9
（2）EF∥AD，AC=CD=10，CG=CF，∠PGE＞90°，P、G两点重合前，若△PEG为等腰三角形，则有EG=PG，∠AEF=∠CFG=∠CGF=∠EGA，故AE=AG
由题设可知四边形AEFD为平行四边形，AE=FD，故AE=AG=FD=t
EG=PG,AG+PG+CP=AC,AE+EG+CP=AC，EG=10-2t
由勾股定理，计算得BC=6，过A点，做AH⊥CD，有AH=BC=6，CH=AB=8(证明从略)，AD=2√10
EF=AD,FG=2√10-10+2t，FG:AD=CF:CD,（2√10-10+2t）:2√10=（10-t）:10，
解得t=（50-5√10）/9
△AEG为等腰三角形，当P、G两点重合后，当△PEG为等腰三角形时，若有EP=PG，则P点必与A点重合，但AE=t＜AB=8,AP=10-t＞2，点A、P不可能重合，故，若△PEG为等腰三角形，则EG=EP，5＜t＜8
△AEG∽△CAD，EG:AD=AE:AC，EG=√10t/5，又△PEG∽△AEG（证明从略），
则△PEG∽△CAD，PG:EG=AE:AC，PG=2t/5，CG=CF=10-t，CG+PG=t，
解得t=25/4
综上所述t=（50-5√10）/9或25/4时，△PEG为等腰三角形

PS：纯手打，好久没打过字，他奶奶的累死洒家了Orz