Question

【请教】关于【介值定理】到底用在开区间还是闭区间

同济的教材上，定理表述为闭区间[a,b]上的连续函数f(x)在端点处具有不同的函数值f(a)=A,f(b)=B,A不等于B。C是A与B之间任意一个数，则在开区间（a,b）内至少存在一点ξ使得f(ξ)=C问题1：C是A与B之间任意一个数，这句话的意思是C∈闭区间[A,B]，还是C∈开区间(A,B)？问题2：为什么定理表述中ξ在开区间（a,b）内存在而不是在闭区间？是因为端点函数值A≠B吗？但是同济的教材上在证明闭区间上连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的一切值时，设m=f(x1),M=f(x2),标注了m≠M，然后却说，在闭区间[x1,x2]上应用介值定理得上述推论，这不矛盾么？问题3：上一段中，介于最大值M与最小值m之间，意味着是开区间还是闭区间？陈文灯的指南里对于介值定理的描述是，μ是介于两个端点值之间的一切实数，则在【闭区间】上存在一点ξ，使得μ等于f(ξ)。 这个描述和教材上的区别是没有指出端点值相等于否，那么在考试的时候，应用介值定理ξ到底是在开区间还是闭区间存在？

Answer 1

我觉得如果用的到介值定理最大最小值定理，题设条件应该都会是闭区间，即使自己构造也是闭区间，本来说的就是闭区间连续函数介值定理，证明应用时候不管怎样都写闭区间，不会太碍事。个人感觉……

Answer 2

这个没啥纠结的啊 端点必然可以取到啊，而且是明显成立的，所以可以忽略，反正是连续函数，说开或闭都一样

Answer 3

这不明显都说的过去么...如果C就是=A或者B那显然成立啊