Question

如图,已知抛物线y=ax平方+bx+2与x轴交于A(-4,0),B(1,0)两点，与y轴交于C

在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC的周长最小。若存在，请直接写出△PBC周长的最小值与点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

把A（-4，0）B（1，0）代入抛物线方程得
｛16a-4b+2=0 解得｛a=-1/2
a+b+2=0 b=-3/2
故y=-x^2/2-3x/2+2
则C（0，2）
连接AC，则当P位于AC与对称轴的交点时△PBC周长最小，即为AC长度，是√(4^2+2^2)=2√5
设对称轴与AC交于P，与x轴交于Q
则Q（-3/2,0） AQ=4-3/2=5/2 OQ=3/2 OC=2
由△APQ∽△ACO
∴PQ/CO=AQ/AO 即PQ/2=5/8 解得PQ=5/4
故P（-3/2,5/4）