Question

高二数学............求大神帮助

已知ABP是双曲线x^2/a^2-y^2/b^=1上不同三点 且AB连线经过坐标原点若直线PA PB斜率乘积kPA*KPB=2/3则离心率为？ 写下详细的过程 谢谢

Answer 1

解：双曲线关于原点对称的. ∵A,B连线经过坐标原点 ∴A,B关于原点对称 设A,P坐标分别为A(x1,y1),P(x2,y2) 那么B坐标为 (-x1,-y1) 则K(PA)=(y2-y1)/(x2-x1) K(PB)=(y2+y1)/(x2+x1) K(PA)·K(PB)=[(y2-y1)/(x2-x1)]·[(y2+y1)/(x2+x1)] =[(y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2] 已知K(PA)·K(PB)=2/3 ∴ [(y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2]=2/3 ① ∵A,B,P在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上 ∴(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 ② (x2)^2/a^2-(y2)^2/b^2=1 ③ ③-②得： [(x2)^2-(x1)^2]/a^2-[(y2)^2-(y1)^2]/b^2=0 移项，得 [(x2)^2-(x1)^2]/a^2=[(y2)^2-(y1)^2]/b^2 从而b^2/a^2=[(y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2] ④ 由①④得 b^2/a^2=2/3 ∵ c^2=a^2+b^2 ∴ c^2=a^2+2/3*a^2=5/3*a^2 从而c^2/a^2=5/3 又e=c/a 由即e^2=5/3 ∴e=√(5/3)=√(15)/3 所以该双曲线的离心率=√15/3