Question

利用函数极限求数列极限例题，请解析！

求：limtan^n（π/4+2/n）（n趋近于∞）
记：f（x）=（tan（π/4+2/x））^x，则f（n）=tan^n（π/4+2/n）
limf（x）=e^limxlntan（π/4+2/x），（x趋近于+∞）；……为什么x趋近于正无穷？这一步是怎么变化来的？
=e^lim（lntan（π/4+2/x）/（1/x）），（x趋近于+∞）
=e^4； ……这结果是怎么算出来的呢？
由函数极限与数列极限间的关系： …… 函数极限与数列极限到底有什么关系呢？什么条件下成立呢？
limtan^n（π/4+2/n）=limf（n）=limf（x）=e^4，（n趋近于∞，x趋近于+∞）

Answer 1

1. 为什么x趋近于正无穷？这一步是怎么变化来的？

   因为n为正整数，趋于+∞，通过求函数的极限求数列的极限是利用收敛函数的子列必收敛，且极限相同。

2. lntan（π/4+2/x）= ln（1+tan（π/4+2/x）-1）~ tan（π/4+2/x）-1

   ∵tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

   ∴tan（π/4+2/x）-1=（1+tan2/x）/(1-tan2/x)-1=2tan2/x/(1-tan2/x) ~ 2tan2/x ~ 4/x

   所以e^lim（lntan（π/4+2/x）/（1/x））=e^4
   
   

追问

是不是题目中带着n就是数列，n也就趋于+∞呢？
收敛函数的子列必收敛，且极限相同。这个没学过，分不清楚谁是谁的子列呃？
limf（x）=lim（tan（π/4+2/x））^x是怎么变为limf（x）=e^limxlntan（π/4+2/x）的呢？
ln（1+tan（π/4+2/x）-1）~ tan（π/4+2/x）-1这是怎么算的啊？不太明白呀！
（还请高手在解释下上述问题！谢谢了！）

追答

ln（1+x）~x
至于收敛性，你直观上感觉都应该懂的