Question

已知函数f（x）=lnx-a/x 1.当a>0时，判断f（x）在定义域上的单调性

补充：
2.若f（x）在[1，e]上的最小值为3/2，求a的值
3.若f（x）<x^2在（1，正无穷大）上恒成立，求a的取值范围
急。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

Answer 1

f(x)的定义域是x>0
f'(x)=1/x+a/x^2=(x+a)/x^2
f'(x)=0 得x=-a
x>-a f'(x)>0 f(x)递增
所以x>0,f(x)递增

0<a,f(x)在[1，e]递增，最小值f(1)=ln1-a=3/2,得a=-3/2,舍去
a<0,f'(x)在[-a,+∞)]递增，在(0,-a)递减
a<-e,f(x)在[1，e]递减，最小值是f（e)=1-a/e=3/2 得a=-e/2>-e 舍去
-e<a<-1,f(x)在[1，-a]递减,在[-a，e]递增，
最小值是f（-a)=ln(-a）+1=3/2 得a=-e^(1/2),符合题意

0>a>-1,f(x)在[1，e]递增，最小值f(1)=ln1-a=3/2,得a=-3/2<-1,舍去
所以，a=-e^(1/2)

f(x)<x^2
lnx-a/x<x^2
-a/x<x^2-lnx
设g(x)=x^2-lnx
g'(x)=2x-1/x=(2x^2-1)/x
当x>1时，g'(x)>0,g(x)递增，即g(x)>g(1)=1
当a>0时，-a/x<0,显然g(x)=x^2-lnx>-a/x在（1，+∞）上恒成立
当a<0时，-a/x是减函数，在（1，+∞）上最大值是-a
若想-a/x<x^2-lnx在（1，+∞）上恒成立
只需-a<1即可，即-1<a<0
综上所述得 -1<a<0

Answer 2

1.区间(0,+∞)上的增函数（lnx）加增函数（-a/x）仍然是区间(0,+∞)上的增函数，定义证明:

任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,

f(x1)-f(x2)=(lnx1-lnx2)+(a/x2-a/x1)=ln(x1/x2)+a(x1-x2)/x1x2

∵x2>x1>0 ∴0<x1/x2<1,x1-x2<0又a>0

∴ln(x1/x2)+a(x1-x2)/x1x2<0,

得f(x1)<f(x2)

∴f(x)是(0,+∞)上的增函数.

2..当a<0时令f'(x)=0 1/x+a/x??=0
解出 x=-af(-a)=ln(-a)-a/(-a) =ln(-a)+1 f(-a)=2 ln(-a)+1=2 ln(-a)=1
a=-e

Answer 3

1.增函数