Question

1/(x+b)*x^a求定积分怎么求呢，求详细过程 （100分悬赏了）

Answer 1

partial fraction
有理函数积分法
如果
a不是整数，基本没戏
如果a是分数，需要先有理代换，但是估计也就1/2,1/3,1/4可以，其它的基本没救

假设a是整数
1/(x+b)*x^a
A A_(a-1) x^(a-1)+ A_(a-2)x^(a-2)+...+A_1 x +A_0
= ---- + ------------------------------------------------------------
x+b x^a

所以
Ax^a+(x+b)(A_(a-1) x^(a-1)+ A_(a-2)x^(a-2)+...+A_1 x +A_0)=1
所以看x^n的系数，除了n=0以外，都为0
bA_0=1
bA_1+A_0=0
bA_2+A_1=0
bA_(a-1)+A_(a-2)=0
A+A_(a-1)=0
A_0=1/b
A_1=-1/b^2
A_n=(-1)^n/b^(n+1)
A=-A_(a-1)=-(-1)^(a-1)/b^a=(-1)^a/b^a
所以原积分等价于
A积分dx/(x+b)+A_(a-1)积分dx/x+A_(a-2)积分dx/x^2+...+A_1积分 dx/x^(a-1)+A_0积分 dx/x^a

代入A,An，和简单的x^n积分即可

追问

不好意思，a和b基本不可能是整数，一般都小数点4位

追答

那只能根据具体数值进行数值积分，b是不是整数无所谓但是a如果是四位小数，基本没可能有解析解。
可以用牛顿柯蒂斯或者高斯积分