Question

利用曲线积分求星形线的面积

利用曲线积分求星形线的面积，应该是跟格林公式有关，求助大神，尽量用笔写然后拍照，过程详细些不然我看不懂。。。

Answer 1

】

应该是

原积分=∫|y|dx=4∫(0->1) ydx

= -4∫(0->π/2) a(sint)^3d(a(cost)^3)

=3πa^2/8

追问

利用格林公式怎么求解

追答

格林公式求面积？？哥，请赐教
求面积，在知道极坐标的形式下，用(1/2)∫ρ^2dθ
在一般的坐标系中，用∫ydx, 然后用对称性加倍就行。。

哥，如果答案正确，采纳可好。谢谢支持

追问

为什么被积函数是|y|？这道题老师是这么写的，

追答

老师的这种方法，适用于不知道曲线所围成的形状的情况下。

这个题目的曲线围成的是个很对称的图形。
曲线y=f(x)与x轴说围成的面积，就是S=∫ydx=∫f(x)dx。
如果y是负的，就用∫|y|dx

两种方法都可以。

追问

嗯，你说的很对。但这道题要求利用曲线积分求（我题目也说了），你能解释一下老师的做法吗？分给你了

追答

你上面的图片，已经包含了所有的信息了，仔细看一下就明白了。
请说明白哪里不懂，我才能教你。

你应该是这一步不懂，所围成的面积S=∫∫dxdy

用的是格林公式的逆用
令P= -y, Q=x
S=∫∫dxdy=(1/2) ∫∫2dxdy=(1/2) ∫∫(Q'x-P'y)dxdy=(1/2)∫Pdx+Qdy=(1/2)∫xdy-ydx