Question

已知函数f(x)=1/2x²+lnx-1 (1)求函数f(x)在区间【1，e】上的最大值和最小值。

已知函数f(x)=1/2x²+lnx-1 (1)求函数f(x)在区间【1，e】上的最大值和最小值。
（2）求证：在区间【1，+∞】上，函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x³的图像的下方。

Answer 1

根据提供的条件可知在(1,+∞）上恒有 (a-1/2)x^2+lnx<2ax
即(1/2-a)x^2+2ax>lnx
考察不等式左侧，可知当二次项的系数小于0，
亦即a>1/2时 不等式左侧在x趋向无穷大时趋向于负无穷，显然不符合题意。
当二次项的系数等于0时，亦即a=1/2时 ，不等式化为 x>lnx
显然在题目的条件下恒成立，所以a=1/2是符合要求的解。
二次项系数大于0时，亦即a<1/2时，二次方程的两个0点是x=0和x=-2a/(1/2-a)
如果要满足不等式的条件必须有-2a/(1/2-a)<=1
解此不等式得a>=-1/2
综上可知a的取值范围是[-1/2,1/2]

Answer 2

(1)先求导数，然后看导数的零点确定极值，如果没有极值就是端点值。(2)求导，然后求出两个函数在x=1时的值，然后g'(x)恒大于f'(x)，得证