Question

已知函数fx=sin²x+根号3sinxcosx

已知函数fx=sin²x+(根号3)sinxcosx
(1)求函数fx的最小正周期和单调递减区间
(2)求函数fx在区间[π/6.3π/4]的值域
(3)画出函数一个周期内的图像
(4)函数fx的图像可以由函数fx=sinx的图像经过怎样的变换得到

Answer 1

fx=sin²x+(√3)sinxcosx=(1-cos2x)/2+(√3/2)sin2x=1/2-1/2cos2x+(√3/2)sin2x=1/2+sin(2x-π/6)
(1)函数fx的最小正周期T=π,单调递减区间2kπ+π/2<2x-π/6<2kπ+3π/2, kπ+π/3<x<kπ+5π/6
(2)求函数fx在区间[π/6.3π/4]的值域
在 kπ-π/6<x<kπ+π/3递增 ， f(π/3)=3/2(最大）f(6π/6)=-1/2, 值域[-1/2,3/2]
(4)函数fx的图像可以由函数fx=sinx的图像经过怎样的变换得到
y=sinx图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的1/2倍得，y=sin2x图像
y=sin2x图像上的点沿x向右平移π/12单位，得y=sin（2x-π/6）图像
y=sin（2x-π/6）图像上的点向上平移1/2单位，得y=1/2+sin（2x-π/6）图像

Answer 2

fx=sin²x+(根号3)sinxcosx=1/2+sin(2x-π/6)