Question

A是以BC为直径的圆O上一点，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE

若sin∠F=3/5，求sin∠D的值

Answer 1

连接AB，OA DB切圆O于点B，BC为直径 ∴DB⊥FC于B ∴∠FBE=∠DBC=90° 而∠BAC为直径BC所对的圆周角 ∴∠BAC=90° ∴∠DAB=180°-90°=90° ∴△DAB是直角三角形 而在Rt△DAB中，E是斜边BD的中点 ∴AE=BE=BD/2 △ABE是等腰三角形 两底角∠EAB=∠DBA 而∠DBA为圆O切线DB与弦AB所成的弦切角，∠C是弦AB所对的圆周角 故∠DBA=∠C ∴∠EAB=∠C OA，OC均为圆O半径，有OA=OC 于是，在等腰△AOC中，∠OAC=∠C ∴∠EAB=∠OAC ∴∠FAO=∠EAB+∠BAO=∠OAC+∠BAO=∠BAC=90° 在Rt△AFO中，∠FAO=90° ∴sin∠F=OA/OF=3/5 设OA=3，则OF=5 ∴OB=OA=3 BC=2OB=6 BF=OF-OB=2 而在Rt△FBE中，∠FBE=90° ∴sin∠F=BE/EF=3/5 ① 再由勾股定理有： EF^=BE^+BF^ ② 而BF=2 由①，②联立可求出： BE=3/2 ∴BD=2BE=3 在Rt△DBC中：∠DBC=90° 由勾股定理可得： CD^=BD^+BC^ 代入BD=3，BC=6，可求出： CD=3√5 于是，有sin∠D=BC/CD=6/(3√5)=2√5/5