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一. 教学内容：
导数在实际生活中的应用
二. 重点、难点：
教学重点：能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用．
教学难点：实际问题转化为数学问题的能力．
三. 主要知识点：
1. 基本方法：
（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的减函数.
（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.
（3）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.
（4）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）. ②求方程f'（x）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值.
（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与、比较得出函数在上的最值.
2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.
解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.
根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．
【典型例题】
例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
思路一：设箱底边长为x cm，则箱高cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的，这个结论是否具有一般性？
变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？
提示：答案：．
评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗油（升）．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得
令得
当时，是减函数；
当时，是增函数．
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
例3、求抛物线上与点距离最近的点.
解：设为抛物线上一点，
则.
与同时取到极值.
令.
由得是唯一的驻点.
当或时，是的最小值点，此时.
即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）.
例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.
解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8并设AC＝ ，
于是点C的烟尘浓度为，
其中为比例系数.
令，有，
即.
解得在（0，20）内惟一驻点.
由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，
在惟一驻点处，浓度最小，即在AB间距A处处的烟尘浓度最小.
例5、已知抛物线y＝－x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.
解：设切点P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x，
∴k1＝－2x0.
∴l的方程为y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝令x＝0，得y＝x02+2，
∴三角形的面积为S＝··（x02+2）＝.
∴S′＝. 令S′＝0，得x0＝（∵x0＞0）.
∴当0＜x0＜时，S′＜0; 当x0＞时，S′＞0.
∴x0＝时，S取极小值∵只有一个极值，
∴x＝时S最小，此时k1＝－，切点为（，）.
∴l的方程为y －＝－（x－），即2x+3y－8＝0.
例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解：设∠BCD＝Q，则BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝，
∴AC＝50－40cotθ
设总的水管费用为f（θ），依题意，有
f（θ）＝3a（50－40·cotθ）+5a·
＝150a+40a·
∴f′（θ）＝40a·
令f′（θ）＝0，得cosθ＝
根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数取得最小值，
此时sinθ＝，∴cotθ＝，
∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
例7、（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：，
故底面正六边形的面积为：
＝，（单位：）
帐篷的体积为：
（单位：）
求导得．
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
∴当时，最大．
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）
A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒
2. 如果为偶函数，且导数存在，则的值为 （ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
3. 是函数值的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 当时，有不等式 （ ）
A.
B. 当时 ，当时
C.
D. 当时，当时
5. 方程在的实根个数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7. 曲线在点处的切线方程为_______________.
8. 若函数有三个单调区间，则的取值范围是 .
9. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为______________
三、解答题
10. 设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，
（1）求的值；（2）求函数的递减区间.
11. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：，且生产x吨的成本为（元）. 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝收入－成本）
12. 已知在与时，都取得极值.
（1）求的值；
（2）若，求的单调区间和极值；
（3）若对都有恒成立，求的取值范围．
【试题答案】
1. C 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D
7.
8.
9. 解析：设底面边长为x，则高为h＝，
∴S表＝3×·x+2×x2＝+x2．
∴S′＝－+x．令S′＝0，得x＝．
答案：
10. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点
∴ c＝0，又图象与x轴相切于（0，0）点，＝3x2+2ax+b
∴ 0＝3×02+2a×0+b，得b＝0
∴ y＝x3+ax2，＝3x2+2ax
当时，，当时，
当x＝时，函数有极小值－4
∴ ，得a＝－3
（2）＝3x2－6x＜0，解得0＜x＜2
∴ 递减区间是（0，2）
11. 解：每月生产x吨时的利润为
，故它就是最大值点，且最大值为：
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
12. 解：（1）f′（x）＝3x2＋2a x＋b＝0.
由题设，x＝1，x＝－为f ′（x）＝0的解.
－a＝1－，＝1×（－）. ∴a＝－，b＝－2.
（2）f（x）＝x3－x2－2 x＋c，由f （－1）＝－1－＋2＋c＝，c＝1.
∴f（x）＝x3－x2－2 x＋1.
x
（－∞，－）
（－，1）
（1，＋∞）
f ′（x）
＋
－
＋
∴f （x）的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）.
当x＝－时，f （x）有极大值，f （－）＝；
当x＝1时，f （x）有极小值，f （1）＝－.
（3）由上，f ′（x）＝（x－1）（3x＋2），f （x）＝x3－x2－2 x＋c，
f （x）在[－1，－]及（1，2）上递增，在（－，1）递减.
f （－）＝－－＋＋c＝c＋. f （2）＝8－2－4＋c＝c＋2.
由题设，c＋2＜恒成立，＜0，
∴c＜－3，或0＜c＜1 .
到我空间看看 有详细的
导数在实际生活中的应用
二. 重点、难点：
教学重点：能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用．
教学难点：实际问题转化为数学问题的能力．
三. 主要知识点：
1. 基本方法：
（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的减函数.
（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.
（3）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.
（4）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）. ②求方程f'（x）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值.
（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与、比较得出函数在上的最值.
2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.
解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.
根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．
【典型例题】
例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
思路一：设箱底边长为x cm，则箱高cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的，这个结论是否具有一般性？
变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？
提示：答案：．
评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗油（升）．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得
令得
当时，是减函数；
当时，是增函数．
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
例3、求抛物线上与点距离最近的点.
解：设为抛物线上一点，
则.
与同时取到极值.
令.
由得是唯一的驻点.
当或时，是的最小值点，此时.
即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）.
例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.
解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8并设AC＝ ，
于是点C的烟尘浓度为，
其中为比例系数.
令，有，
即.
解得在（0，20）内惟一驻点.
由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，
在惟一驻点处，浓度最小，即在AB间距A处处的烟尘浓度最小.
例5、已知抛物线y＝－x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.
解：设切点P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x，
∴k1＝－2x0.
∴l的方程为y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝令x＝0，得y＝x02+2，
∴三角形的面积为S＝··（x02+2）＝.
∴S′＝. 令S′＝0，得x0＝（∵x0＞0）.
∴当0＜x0＜时，S′＜0; 当x0＞时，S′＞0.
∴x0＝时，S取极小值∵只有一个极值，
∴x＝时S最小，此时k1＝－，切点为（，）.
∴l的方程为y －＝－（x－），即2x+3y－8＝0.
例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解：设∠BCD＝Q，则BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝，
∴AC＝50－40cotθ
设总的水管费用为f（θ），依题意，有
f（θ）＝3a（50－40·cotθ）+5a·
＝150a+40a·
∴f′（θ）＝40a·
令f′（θ）＝0，得cosθ＝
根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数取得最小值，
此时sinθ＝，∴cotθ＝，
∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
例7、（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：，
故底面正六边形的面积为：
＝，（单位：）
帐篷的体积为：
（单位：）
求导得．
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
∴当时，最大．
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）
A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒
2. 如果为偶函数，且导数存在，则的值为 （ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
3. 是函数值的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 当时，有不等式 （ ）
A.
B. 当时 ，当时
C.
D. 当时，当时
5. 方程在的实根个数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7. 曲线在点处的切线方程为_______________.
8. 若函数有三个单调区间，则的取值范围是 .
9. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为______________
三、解答题
10. 设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，
（1）求的值；（2）求函数的递减区间.
11. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：，且生产x吨的成本为（元）. 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝收入－成本）
12. 已知在与时，都取得极值.
（1）求的值；
（2）若，求的单调区间和极值；
（3）若对都有恒成立，求的取值范围．
【试题答案】
1. C 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D
7.
8.
9. 解析：设底面边长为x，则高为h＝，
∴S表＝3×·x+2×x2＝+x2．
∴S′＝－+x．令S′＝0，得x＝．
答案：
10. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点
∴ c＝0，又图象与x轴相切于（0，0）点，＝3x2+2ax+b
∴ 0＝3×02+2a×0+b，得b＝0
∴ y＝x3+ax2，＝3x2+2ax
当时，，当时，
当x＝时，函数有极小值－4
∴ ，得a＝－3
（2）＝3x2－6x＜0，解得0＜x＜2
∴ 递减区间是（0，2）
11. 解：每月生产x吨时的利润为
，故它就是最大值点，且最大值为：
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
12. 解：（1）f′（x）＝3x2＋2a x＋b＝0.
由题设，x＝1，x＝－为f ′（x）＝0的解.
－a＝1－，＝1×（－）. ∴a＝－，b＝－2.
（2）f（x）＝x3－x2－2 x＋c，由f （－1）＝－1－＋2＋c＝，c＝1.
∴f（x）＝x3－x2－2 x＋1.
x
（－∞，－）
（－，1）
（1，＋∞）
f ′（x）
＋
－
＋
∴f （x）的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）.
当x＝－时，f （x）有极大值，f （－）＝；
当x＝1时，f （x）有极小值，f （1）＝－.
（3）由上，f ′（x）＝（x－1）（3x＋2），f （x）＝x3－x2－2 x＋c，
f （x）在[－1，－]及（1，2）上递增，在（－，1）递减.
f （－）＝－－＋＋c＝c＋. f （2）＝8－2－4＋c＝c＋2.
由题设，c＋2＜恒成立，＜0，
∴c＜－3，或0＜c＜1 .
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