Question

一道高三数学题

Answer 1

对于①，因为f（0）=1，且f（x）+f（1-x）=l，取x=0，得f（1）=0，对∀x∈[0，1]，根据“非增函数”的定义知f（x）≥0．所以①正确；
对于②，由定义可知当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，f（x1）与f（x2）可能相等．所以②不正确；

对于③，由f（x）+f（1-x）=1，得f(1/8)+f(7/8)=1,因为当x∈[0，1/4]时f（x）≤-2x+1恒成立,所以f(1/4)≤1/2 ，又f（x）+f（1-x）=1，所以f(1/2)=1/2  ，而1/4<1/2,所以f(1/4)≥1/2,即f(1/4)=1/2，

同理有f(3/4)=1/2,当x∈[1/4,3/4]时，由“非增函数”的定义可知，f(3/4)≤f(x)≤f(1/4)，即f(x)=1/2

所以f(5/11=f(7/13)=1/2，所以f(1/8)+f(5/11)+f(7/13)+f(7/8)=2，所以③成立．

对于④，当x∈[0，1/4]时，x≤-2x+1，因为函数f(x)为区间D上的“非增函数”，所以f(x)≥f(-2x+1)，

所以f(f(x))≤f(-2x+1)≤f(x)．所以④正确．
故答案为：①③④．

如果看不清，图片版如下：

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Answer 2

答案为①④