Question

设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数都有f(f(x)-e的x方)=e+1（e为自然对数的底数）,则f(ln2)=

请问，为什么“单调，所以才有f(x)-e^x为常数”啊？

Answer 1

任意k∈R，存在m(k) f(k)-e^k=m(k)

假设m(k)不是关于k的常函数，则存在k1≠k2使得m(k1)≠m(k2)
然而f(m(k1))=e+1 f(m(k2))=e+1 矛盾
这说明m(k)是关于k的常函数
从而f(k)-e^k=m 即f(k)=e^k+m
故f(m)=e+1=e^m+m
即关于常数m的方程e^m+m=e+1
由于函数e^x+x为增函数，故上述方程最多只有一个解
易知m=1是一个解。可见方程只有这一个解。
从而f(x)=e^x+1
f(ln2)=3

追问

请问，用上已知条件中的“函数f(x)为单调递增函数”了么？

追答

用到了啊
在“然而f(m(k1))=e+1 f(m(k2))=e+1 矛盾”这句话里，如果没有单调递增这个条件，这里将无法得出矛盾。因为k1和k2的存在使得m(k1)≠m(k2)；但m(k1)和m(k2)只是两个数，正因为单调递增才很方便地得出f(m(k1))≠f(m(k2)).

换句话说，如果没有单调性作保证，不能证明这个命题：
若m(k)=f(k)-e^k不是关于k的常函数，则存在k1和k2使得既有m(k1)≠m(k2)，又有f(m(k1))≠f(m(k2)).

Answer 2

作任意x都有f(f(x)-e^x)=e+1
所以f(x)-e^x为常数
设f(x)=e^x+k
所以f(k)=e+1
因为f(x)=e^x+k，所以f(k)=e^k+k
所以k=1，f(x)=e^x+1
f(ln2)=3

答题不易、
满意请给个好评、
你的认可是我最大的动力、
祝你学习愉快、
>_<|||

追问

请问，为什么“单调，所以才有f(x)-e^x为常数”啊？