Question

高中数学：若函数f(x)=a^x（a>1）的定义域和值域均为[m,n],则a的取值范围是

已知：若函数f(x)=a^x（a>1）的定义域和值域均为[m,n]。 求：a的取值范围。 （要过程，请认真答题）

Answer 1

f(x)=a^x是关于x的增函数 ∴a^m=m,a^n=n, 即a^x=x有两个不等根 令g(x)=a^x-x, 原题相当于g(x)=0至少有2个不等根 g'(x)=lna*a^x-1 令g'(x)>0, x>log(a)(1/lna); 令g'(x)<0, x<log(a)(1/lna) ∴g(x)在(-∞,log(a)(1/lna))上单调减,在(log(a)(1/lna),+∞)上单调增 要使g(x)=0至少有2个不等根,则g(x)最小值g(log(a)(1/lna))<0 ∴g(log(a)(1/lna))=1/lna-log(a)(1/lna)<0 ∴log(a)(e)<log(a)(log(a)e), e<log(a)e=1/lna ∴lna<1/e, a<e^(1/e) 综上,1<a<e^(1/e)