Question

数学分析题目，请大家帮忙…

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Answer 1

(1) 由q > 0, 在(0,1)的一个右邻域内sin(x^q)/x^p非负,
且当x → 0+时与x^(q-p)是等价无穷小.
根据比较判别法, ∫{0,1} sin(x^q)/x^p dx收敛性与∫{0,1} x^(q-p) dx等价,
即收敛当且仅当q-p > -1, 即p < 1+q.

讨论∫{1,+∞} sin(x^q)/x^p dx收敛性.
换元x = t^(1/q), 得1/q·∫{1,+∞} sin(t)/t^((p-1)/q+1) dt.
①当(p-1)/q+1 > 0, 1/t^((p-1)/q+1)单调递减趋于0.
而|∫{a,b} sin(t) dt| = |cos(a)-cos(b)| ≤ 2,
根据Dirichlet判别法, ∫{1,+∞} sin(t)/t^((p-1)/q+1) dt收敛.
②当(p-1)/q+1 ≤ 0, 1/t^((p-1)/q+1) ≥ 1.
对任意正整数k, ∫{2kπ,2kπ+π/2} sin(t)/t^((p-1)/q+1) dt ≥ ∫{2kπ,2kπ+π/2} sin(t) dt = 1.
根据Cauchy收敛准则, ∫{1,+∞} sin(t)/t^((p-1)/q+1) dt发散.
因此积分收敛当且仅当(p-1)/q+1 > 0, 即p > 1-q.

综上, 关于p的收敛域为(1-q,1+q).

(2) 对0 < x^q < π/2, 成立0 < 1/2·x^q < sin(x^q).
故sin(x^q)/x^p > 1/2·x^(q-p).
对任意1 > δ > 0, ∫{0,δ} sin(x^q)/x^p dx ≥ 1/2·∫{0,δ} x^(q-p) dx = 1/2·δ^(1+q-p)/(1+q-p).
当p → (1+q)-时∫{0,δ} sin(x^q)/x^p dx → +∞.
因此不是一致收敛的.

(3) ∫{0,1} sin(x^q)/x^p dx作为非负函数积分, 收敛等价于绝对收敛.

对于∫{1,+∞} sin(x^q)/x^p dx = 1/q·∫{1,+∞} sin(t)/t^((p-1)/q+1) dt,
绝对收敛等价于∫{1,+∞} |sin(t)|/t^((p-1)/q+1) dt收敛.
①当p > 1, 有(p-1)/q+1 > 1, 从而∫{1,+∞} 1/t^((p-1)/q+1) dt收敛.
而0 ≤ |sin(t)|/t^((p-1)/q+1) ≤ 1/t^((p-1)/q+1),
根据比较判别法知∫{1,+∞} |sin(t)|/t^((p-1)/q+1) dt也收敛.
②当1-q < p ≤ 1, 有(p-1)/q+1 ≤ 1, 从而∫{1,+∞} 1/t^((p-1)/q+1) dt发散.
另一方面, 可由Dirichlet判别法证明∫{1,+∞} cos(2t)/t^((p-1)/q+1) dt收敛.
于是∫{1,+∞} (1-cos(2t))/t^((p-1)/q+1) dt发散,
也即2·∫{1,+∞} (sin(t))^2/t^((p-1)/q+1) dt发散.
而0 ≤ (sin(t))^2/t^((p-1)/q+1) ≤ |sin(t)|/t^((p-1)/q+1),
根据比较判别法知∫{1,+∞} |sin(t)|/t^((p-1)/q+1) dt也发散.

综上, 对1 < p < 1+q, 积分为绝对收敛.
而对1-q < p ≤ 1, 积分为条件收敛.

追问

你好，换元的那步算错了吧

追答

∫ sin(x^q)/x^p dx
= ∫ sin(t)/t^(p/q) d(t^(1/q))
= 1/q·∫ sin(t)/t^(p/q)·t^(1/q-1) dt
= 1/q·∫ sin(t)/t^(p/q-1/q+1) dt
= 1/q·∫ sin(t)/t^((p-1)/q+1) dt
你觉得哪里有问题?

追问

恩，对的那个加一在外面！

追答

是的, 运算顺序先乘除后加减,
所以(p-1)/q+1不是(p-1)/(q+1).

追问

嗯嗯

会