Question

求一道不定积分的题。用分部积分法，谢谢好心人，急

∫sinxlntanxdx 设U=lntanx v＝sinxdx

Answer 1

∫sinxlntanxdx
设U=lntanx dv＝sinxdx
则du=1/tanx*sec^2x,v=-cosx.
根据分部积分公式:
原式=-cosx*lntanx+∫cosx*1/tanx*sec^2xdx
=-cosx*lntanx+∫cscxdx
=-cosx*lntanx-ln(cscx+cotx)+C
注:ln(cscx+cotx)中的括号实际上是绝对值符号,无因法打出来,故用括号表示.

Answer 2

原式=-∫lntanxdcosx
=-cosxlntanx+∫cosxdlntanx
=-cosxlntanx+∫cosx*1/tanxdtanx
=-cosxlntanx+∫cos²/sinx*sec²xdx
=-cosxlntanx+∫dx/sinx
=-cosxlntanx+∫sinxdx/sin²x
=-cosxlntanx-∫dcosx/(1-cos²x)
=-cosxlntanx-1/2*∫[1/(1+cosx)+1/(1-cosx)]dcosx
=-cosxlntanx-1/2*[ln|1+cosx|-ln|1-cosx|]
=-cosxlntanx-1/2*ln[(1+cosx)/(1-cosx)]