Question

用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分

Answer 1

1、假设圆的两条不是直径的相交弦能互相平分

2.解答：证法一：假设圆的两条不是直径的相交弦能互相平分，
如图AB，CD为圆O的两条不是直径且互相平分的相交弦，交点为E
∵CE=DE，AE=BE，O为圆心
∴OE⊥CD，OE⊥AB
∴CD∥AB
显然与AB，CD矛盾，故假设不成立．
∴圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．
证法二：证明：假设AB，CD能互相平分
连接OE
∵AE=BE
∴OE⊥AB
同理OE⊥CD
因为这与过一点有且有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以假设错误，所以圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．

Answer 2

向左转|向右转
已知：在⊙O中弦AB,CD相交于点P,且AB,CD都不是⊙O的直径
求证：AB,CD不能互相平分
证明：假设AB,CD能互相平分
连接OP
∵AP=BP
∴OP⊥AB
同理OP⊥CD
因为这与过一点有且有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以假设错误，所以圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

Answer 3

证明：

假设这两条直线都不是圆的直径；并且满足题目要求的相互平分。

两条相互平分直线可以围成一个平行四边形；两条直线为该平行四边形的对角线。

该平行四边形为圆的内接平行四边形。（可以简单证明圆的内接平行四边形势必为矩形）

如果为矩形，那么一条对角线所对的圆周角则为直角，

我们知道，只有直径所对的圆周角为直角，与假设矛盾。

证明，该两条直线，以此可证明都是圆的直径。

Answer 4

假设圆的两条不是直径的相交弦可以互相平分。
⊙O中，弦AB与弦CD相交与点P，且AP＝BP，CP＝DP，
连结OP，
∵AP＝BP，
∴OP⊥AB，（平分弦的直径垂直于弦）
同理
∵CP＝DP，
∴OP⊥CD，
这样，过点P就有AB与CD两条不同的直线与OP垂直，
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的定理相矛盾，
所以，假设错误。
因此，原命题成立！
即：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

Answer 5

证明:
假设
圆内不是直径的两条弦AB和CD互相平分于E，
则四边形ACBD的对角线互相平分于E，四边形ACBD是平行四边形
又因为
四边形ACBD是圆内接四边形，则角A与角B互补，所以角A与角B都是直角(平行四边形对角相等)
所以AB是直径，与假设矛盾
所以圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。