Question

如图,A,B分别为X轴和Y轴正半轴上的点,OA=8,OB=6,直线BC平分∠ABO,交X轴于点C,P为BC上移动点。

如图,A,B分别为X轴和Y轴正半轴上的点,OA=8,OB=6,直线BC平分∠ABO,交X轴于点C,P为BC上移动点。P以每秒1个单位的速度从B向BC方向移动。

设PA-PO=m，P的移动时间为t。
1.当t大于0小于等于4倍根号5时，求m取值范围
2.当t大于4倍根号5时，求m取值范围

Answer 1

根据角平分线定理，即OB/BA=OC/CA,BA=√(OB^2+OA^2)=10.所以OC/CA=6/10=3/5,再由OC+CA=OA=8，可以得到OC=3,OA=5..在直角三角形OBC中，BC=√(OB^2+OC^2)=3√5,所以cos角OBC=OB/BC=2/√5,因为角ABC=角OBC,所以
cos角ABC=cos角OBC=2/√5
在三角形OBP中，BP=t,运用余弦定理可以得到PO^2=OB^2+BP^2-2*OB*BPcos角OBC
=t^2-24t/√5+36...同样在三角形BPA中运用余弦定理可以得到PA^2=AB^2+BP^2-2*AB*BPcos角ABC=t^2-40t/√5+100；到这里我们就可以把m的写成关于t的函数.
m=PA-PO=√(t^2-40t/√5+100)-√(t^2-24t/√5+36)

做数学题目就是这样，要善于发挥自己的想象！这不仅仅是适合现在高中生学习数学的正确态度和方法，对于各门学科都是这样的，也是以后高等数学的学习，考研啊，考博之类的都是有很大启发的，可以说这就是客观事物的规律，都要善于发挥自己的想象，要靠自己不断实践，不断认识，总结正确的方法和经验。

题目为什么有“4√5”这个数呢？当让不是平白无故的，当m=0时，由√(t^2-40t/√5+100)-√(t^2-24t/√5+36)=0可以解出t=4√5,

1，将对m关于t求导数，并令导数为0，进行比较复杂的计算，可以求出t=0 或3√5时取极值，当t=0时，m=4；当t=3√5时，m=2；当t=4√5时,m=0.于是
当t大于0小于等于4倍根号5时，0<=t<4

2,由1中计算出，m关于t的导数，可以知道，当t>3√5时，m是关于t的单调减少函数，而当当t=4√5时,m=0.
m也是有一个下界的！就是当t趋于正无穷时，m的极限值
这时，也是高中强调的一个重要技巧， 分子有理化
将m的分母看成1，分子分母同乘√(t^2-40t/√5+100)+√(t^2-24t/√5+36)；
化简可得
m=√(t^2-40t/√5+100)-√(t^2-24t/√5+36)=
（64-16t/√5）/[√(t^2-40t/√5+100)+√(t^2-24t/√5+36)]；
这时应该很容易得出t趋于正无穷时，m的极限值，只要分子分母再同除t，再取极限，得到极限就是-8√5/5

所以，结果就是-8√5/5<m<0

Answer 2

OB/BA=OC/CA,BA=√(OB^2+OA^2)=10.所以OC/CA=6/10=3/5,再由OC+CA=OA=8，可以得到OC=3,OA=5..在直角三角形OBC中，BC=√(OB^2+OC^2)=3√5,所以cos角OBC=OB/BC=2/√5,因为角ABC=角OBC,所以
cos角ABC=cos角OBC=2/√5