Question

我有个疑问，如果说一个数列收敛，它一定只有一个极限，但是这个数列一定是有界的，有界意味着有上下界，

我有个疑问，如果说一个数列收敛，它一定只有一个极限，但是这个数列一定是有界的，有界意味着有上下界，这不就说有两个极限了吗？。。。想不明白

Answer 1

数列不一定收敛于它的上界或者下界，数列的极限是指当数列项数无限增大时数列会和一个常数无限接近。

1. 数列收敛是设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a）。

2. 如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

3. 数列收敛就是当n趋于正无穷时，这个数列的极限存在，举个例子：数列 a(n) 收敛到A，这里A是一个有限数。按照定义就是指：任取e>0，存在N>0，使得当n>N，有|a(n)-A|。

补充内容：

1. 数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫作这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫作首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。

2. 按一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫作这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项，排在第二位的数称为这个数列的第2项，排在第n位的数称为这个数列的第n项。

以上内容参考 数列-百度百科

Answer 2

你是把极限和上下界混淆了。数列没有左右极限，左右极限是函数极限的概念。数列的极限和他的上下界没有关系。
举个简单例子：
数列1.-1.0.0.0.0.0...
第一项是1，第二项是-1，后面全是0
则该数列收敛于1，极限是0，上下界是-1和1，

Answer 3

上下界是-1和1.你是把极限和上下界混淆了.0.0，后面全是0
则该数列收敛于1，极限是0.0。数列没有左右极限，左右极限是函数极限的概念.0.0。数列的极限和他的上下界没有关系.-1。
举个简单例子，第二项是-1.
第一项是1.：
数列1

Answer 4

数列不一定收敛于它的上界或者下界。数列的极限是指当数列项数无限增大时数列会和一个常数无限接近。

追答

追问

知道了，谢。。到那个上界不应该是1么。。。

追答

上界是不唯一的哦

追问

额，想起来了，基础不扎实呀，哈

Answer 5

有界是指有上界或下界

追答

我说错了，数列有两个极限很正常啊，比如arctan x