Question

设三阶实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使得Q^-1AQ为对角矩阵（1）矩阵A的特征值为

（2）属于3个特征值得特征向量为（若两个特征值相等，要求其特征向量线性无关）
（3）正交矩阵Q为
（4）对角矩阵为Q^-1AQ为
A=5 -7 -7
-7 5 -7
-7 -7 5

Answer 1

设矩阵A的特征值为λ那么
|A-λE|=
5-λ -7 -7
-7 5-λ -7
-7 -7 5-λ 第2行减去第1行
=
5-λ -7 -7
-12+λ 12-λ 0
-7 -7 5-λ 第1列加上第2列
=
-2-λ -7 -7
0 12-λ 0
-14 -7 5-λ 按第2行展开
=
(12-λ)(λ^2-3λ-108)=(λ-12)(λ-12)(λ+9)=0
解得
λ=12，12，-9
当λ=12时，
A-12E=
-7 -7 -7
-7 -7 -7
-7 -7 -7 第2行减去第1行，第3行减去第1行，第1行除以-7
～
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量(1,-1,0)^T和(0,1,-1)^T

再将其正交化为
(1,-1,0)^T和
(0,1,-1)^T+ 1/2 *(1,-1,0)^T=(1/2,1/2,-1)

当λ= -9时，
A+9E=
14 -7 -7
-7 14 -7
-7 -7 14 第3行加上第2行，第3行加上第1行，第1行加上第2行×2
～
0 21 -21
-7 14 -7
0 0 0 第1行除以21，第2行除以-7，交换第1和第2行
～
1 -2 1
0 1 -1
0 0 0 第1行加上第2行×2
～
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
得到特征向量(1,1,1)^T

所以正交矩阵Q为

1 1/2 1
-1 1/2 1
0 -1 1
而对角矩阵为Q^-1AQ则为

12
12
-9