Question

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，则正确的是

①f(x+4)=f(x)
②f(x)的图像关于点（2k,0）对称
③f(x+3)是奇函数
④f(x)的图像关于直线x=2k+1对称
详细点，谢谢了，谢谢，谢谢.

Answer 1

∵f(x+1)=-f(-x+1),令t=-x+1，
∴f(2-t)=-f(t),即f(2-x)=-f(x)
由f(x+2)=f(-x+2），得f(x+2)=-f(x)
f(x+4)=f(x+2+2)=-f（x+2)=f(x)
①对
f(x+3)=f（x+1+2）=f（-x+1)=f(-x+1+4)=f(-x+3)
所以f(x+3)是偶函数
f(-x)=f[-(x+2)+2]=f(x+4)=f(x)
所以f(x)为偶函数
f(-x)=f[-(x+1)+1]=f(x+2)=-f(x)
所以f(x)又为奇函数
f(x)+f(4k-x)=f(x)+f(-x)=0
③对
f(4k+2-x)=f(-x+2+4k)=f(-x+2)=-f(x)=f(x)
所以④对，
f（x）应该为零