Question

已知函数f（x）=（2-a）lnx+ 1 x +2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜

已知函数f（x）=（2-a）lnx+ 1 x +2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x 1 ，x 2 ∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x 1 ）-f（x 2 ）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞） 当a=0时，f（x）=2lnx+ 1 x ，f′（x）= 2 x - 1 x 2 = 2x-1 x 2 令f′（x）=0，解得x= 1 2 当0＜x＜ 1 2 时，f′（x）＜0； 当x≥ 1 2 时，f′（x）＞0 又∵f（ 1 2 ）=2-ln2 ∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值 （Ⅱ）f′（x）= 2-a x - 1 x 2 +2a= 2a x 2 +(2-a)x-1 x 2 当a＜-2时，- 1 a ＜ 1 2 ，令f′（x）＜0，得0＜x＜- 1 a 或x＞ 1 2 ， 令f′（x）＞0得- 1 a ＜x＜ 1 2 当-2＜a＜0时，得- 1 a ＞ 1 2 ，令f′（x）＜0得0＜x＜ 1 2 或x＞- 1 a ； 令f′（x）＞0得 1 2 ＜x＜- 1 a ； 当a=-2时，f′（x）=- (2x-1) 2 x 2 ≤0 综上所述，当a＜-2时f（x），的递减区间为（0，- 1 a ）和（ 1 2 ．+∞），递增区间为（- 1 a ， 1 2 ）； 当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减； 当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0， 1 2 ）和（- 1 a ，+∞），递增区间为（ 1 2 ，- 1 a ）． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减． 当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值； |f（x 1 ）-f（x 2 ）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3+ 1 3 +6a]= 2 3 -4a+（a-2）ln3 ∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x 1 ）-f（x 2 ）|恒成立，∴（m+ln3）a-2ln3＞ 2 3 -4a+（a-2）ln3 整理得ma＞ 2 3 -4a，∵a＜0，∴m＜ 2 3a -4恒成立，∵-3＜a＜-2， ∴- 13 3 ＜ 2 3a -4＜- 38 9 ，∴m≤- 13 3