Question

设函数f（x）=x|x-a|，若对于任意的x 1 ，x 2 ∈[2，+∞），x 1 ≠x 2 ，不等式 f( x 1 )-f( x

设函数f（x）=x|x-a|，若对于任意的x 1 ，x 2 ∈[2，+∞），x 1 ≠x 2 ，不等式 f( x 1 )-f( x 2 ) x 1 - x 2 ＞0恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

由题意知f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上单调递增． （1）当a≤2时， 若x∈[2，+∞），则f（x）=x（x-a）=x 2 -ax，其对称轴为x= a 2 ， 此时 a 2 ＜2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的； （2）当a＞2时， ①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x-a）=x 2 -ax，其对称轴为x= a 2 ，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的； ②若x∈[2，a），则f（x）=x（a-x）=-x 2 +ax，其对称轴为x= a 2 ，所以f（x）在[ a 2 ，a）上是递减的，因此f（x） 在[2，a）上必有递减区间． 综上可知a≤2． 故答案为（-∞，2]．